1. Արշավականներն օրական 8 ժամ հաստատուն արագությամբ քայլելով, 15 օրում կարող են անցնել 480կմ ճանապարհ: Արշավականները օրական քանի ժամ պետք է բալեն նույն արագությամբ, որ 2 շաբաթում անցնեն 50կմ ճանապարհ:

10ժ

2. Քանի յոռանիշ թիվ կա, որոնց երկրորդ թվանշանը կենտ է, իսկ երրորդը

Կա 25 ոթանիշ թիվ

3. Ալենը, Դավիր-ը և Վահեն կանգնած են բակում Ալենն ասում է, որ Դավիթից երկու անգամ ավելի հեռու է, քան Լահեից, Դավիթն ասում է, որ Վահեից երկու անգամ ավելի հեռու է, քան Ալենից, իսկ Վարեն ասում է, որ Դավիթից էրկու անգամ ավելի հեռու է, քան Սլենից: Նրանցից առնվազն երկուսը ճիշտ են ասում։ ով է ստում

Ստում է Ալենը

4. Քնարիկն ընտրել է խորանարդաձև տուփի գագաթներից մեկը: Դուք իրավունք ունեք նրան տալու հարցեր, որոնց նա պետք է պատասխանի «այո» կամ «ոչ» : Նվազագույնը քանի հարց տալով կարող եք պարզել, թե որ գագարին է նա ընտրել:

3

5.երկու քառակուսաձև, ծղթեր իրար վրա դրված են այնպես, որ նրանց ընդհանուր մասի մակերեսը կազմում է մի քառակուսու մակերեսի 2/5 մասը, իսկ մյուսի՝ 518 մասը: Գտիր այդ քառակուսիների կողմերի երկարությունների հարաբերությունը:

Мой ответ

6. Գուտբոլի դաշտ դուրս եկող 11 հոգանոց թիմում պեւոք է ընտրել ավագ և նրա օգնական: Քանի՞ եղանակով է հնարավոր իրականացնել ընտրությունը:

100

7. Տասանիշ թիվը գրելու համար կարող ենք օգտագործել 1, 2 և 3 թվանշանները, ընդ որում նույն թվի մեջ ցանկացած երկու հարևան թվանշանների տարբերությունը 1 է: Այս պայմաններին բավարարող քանի թիվ կա

4

8. MNk եռանկյան M գագաթից տարված ուղիղը հատում է k կողմը E կետում, այնպես որ MN-NE, ZNME–35 աստիճան, 2KME+15 աստիճան: Գտեք MNK եռանկյան անկյունները:

M-50°

N-110″

K-20″

9.2×2 չափանի քառակուսու վանդակներից ամեն մեկը ներկում են սև կամ սպիտակ։ Բառակուսին ներկելու քանի՞ fհնարավոր տարբերակ կա:

14 տարբերակ

10. Յանան ունի տարբեր չափեր ունեցող 5 խորանարդ: Երբ նա դասավորում է դրանք փոքրից մեծ, երկու հարևան խորանարդների բարձրությունների տարբերությունը միշտ ստացվում 2սմ: Մեծ խորանարդի կողմը հավասար է երկու ամենափոքր խորանարդների կողմերի երկարությունների գումարին: Ինչի է հավասար բոլոր 5 խորանարդներից կառուցված աշտարակի բարձրությունը:

50սմ

1. Երկու ամբողջ թվերի գումարը 19 է: Մեծ թիվը փոքրին բաժանելիս քանորդում ստացվում է 1, իսկ մնացորդում՝ 5: Գտե՛ք այդ թվերը:
7, 12

2. Մի թվի 5%-ը և մյուսի 4%-ը միասին 46 է, իսկ առաջինի 4%-ը և երկրորդի 5%-ը միասին 44 է: Գտե՛ք այդ թվերը:
600, 400

3. Ձկնորսը ձուկ էր բռնել: Այն հարցին, թե որքա՞ն է ձկան զանգվածը, պատասխանեց, որ պոչը 1կգ է, գլուխն այնքան, որքան պոչն ու մարմնի կեսը, իսկ մարմինը այնքան, որքան գլուխն ու պոչը միասին: Ինչքա՞ն էր ձկան զանգվածը:
7

4. Քանի՞ ութանիշ թիվ կա, որոնց թվանշանների գումարը 2 է:
8

5. Գտե՛ք x-ի փոխարեն թաքնված թիվը:

8
6. Անկյուն 𝐶𝐴D-ն 42 աստիճան է, իսկ անկյուն 𝐶𝐵F-ը՝ 41 աստիճան, 𝐴D-ն զուգահեռ է 𝐵F−ին: Գտե՛ք անկյուն 𝐴𝐶𝐵-ն:

83

7. Երկու մրջյունների հեռավորությունը 33սմ է: Մեծ մրջյունը վազում է 4սմ/վ արագությամբ, փոքրը՝ 2սմ/վ : Որքա՞ն կլինի մրջյունների հեռավորությունը 6վ հետո, եթե նրանք սկսում վազել իրար ընդառաջ:
3սմ

8. Ուղղագիծ հավասարաչափ շարժվող մեքենայի արագաչափի հաշվիչը ցույց էր տալիս 45954կմ: Երկու ժամ անց առաջին անգամ ցուցիչի վրա նորից հայտնվեց մի թիվ, որը նույն կերպ էր կարդացվում ձախից աջ և աջից ձախ: Ի՞նչ արագությամբ էր ընթանում մեքենան:
55 կմ/ժ

9. BC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան ներսում M կետը վերցրված է այնպես, որ <𝑀𝐵𝐶=30 աստիճան է, իսկ <𝑀𝐶𝐵=10 աստիճան: Գտե՛ք AMC անկյունը, եթե <𝐵𝐴𝐶=80 աստիճան:
115

10. Տղան ուներ փայտե խորանարդ: Այդ խորանարդը նա ներկեց ամբողջությամբ՝ օգտագործելով 36գ ներկ: Որից հետո խորանարդը սղոցեց (առանց կորստի) 125 փոքր միատեսակ խորանարդների: Ամենաքիչը հավելյալ ինչքա՞ն ներկ է անհրաժեշտ այդ փոքրիկ խորանարդիկները ամբողջությամբ ներկելու համար:
144

y=sinx ֆունկցիայի հատկություններըԴիտարկենք y=sinx ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է x ռադիան անկյան սինուսին: 1. y=sinx ֆունկցիայի որոշման տիրույթն ամբողջ թվային առանցքն է՝ D(sinx)=R:
2. y=sinx ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [−1;1] հատվածն է:
3. y=sinx ֆունկցիան պարբերական է T=2π պարբերությամբ: 
4. y=sinx ֆունկցիան կենտ է:
5. sinx=0, երբ x=πn,n∈Z: 
6. y=sinx ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը 1-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=π2+2πn,n∈Z կետերում: 
7. y=sinx ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը −1-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=−π2+2πn,n∈Z կետերում:
8. y=sinx ֆունկցիան դրական է (2πn;π+2πn) արգումենտների համար, և բացասական է(π+2πn;2π+2πn) արգումենտների համար, որտեղ n∈Z: 9. y=sinx ֆունկցիան աճում է [−π2+2πn;π2+2πn] հատվածներում և նվազում է [π2+2πn;3π2+2πn] հատվածներում, որտեղ n∈Z: Հաշվի առնելով թվարկված հատկությունները, կառուցում ենք y=sinx ֆունկցիայի գրաֆիկը: 

y=sinx ֆունկցիայի գրաֆիկն անվանում են սինուսոիդա:

 y = arcsin x ֆունկցիայի հատկություններն ու գրաֆիկը

x թվի արկսինուս կոչվում է [−π2;π2] հատվածի այն թիվը, որի սինուսը x-ն է: 

y=arcsinx ֆունկցիայի հատկությունները

• 1. y=arcsinx ֆունկցիայի որոշման տիրույթը [−1;1] հատվածն է: 
• 2. y=arcsinx ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [−π2;π2] հատվածն է:  
• 3. y=arcsinx-ը աճող ֆունկցիա է:  
• 4. y=arcsinx ֆունկցիան կենտ է՝ arcsin(−x)=−arcsinx

y = arccos x ֆունկցիայի հատկություններն ու գրաֆիկը

x թվի արկկոսինուս կոչվում է [0;π] հատվածի այն թիվը, որի կոսինուսը x-ն է:

y=arccosx ֆունկցիայի հատկությունները

• 1. y=arccosx ֆունկցիայի որոշման տիրույթը [−1;1] հատվածն է:   
• 2. y=arccosx ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [0;π] հատվածն է: 
• 3. y=arccosx ֆունկցիան նվազող է: 
• 4. arccos(−x)=π−arccosx

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենսը և կոտանգենսը սահմանվում են հետևյալ կերպ՝ 

tgα=դիմացի էջկից էջtgα=abctgα=կից էջդիմացի էջctgα=ba

Տանգենսի արժեքը ստանալու համար պետք է միավոր շրջանագծին շոշափող տանել (1;0) կետում: Տանգենսի արժեքները գտնվում են Oy առանցքի վրա:
Կոտանգենսի արժեքը ստանալու համար պետք է միավոր շրջանագծին շոշափող տանել (0;1) կետում: Կոտանգենսի արժեքները գտնվում են Ox առանցքի վրա:

                           Տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները հաշվում ենք արդեն ծանոթ բանաձևերի միջոցով՝tgα=sinαcosα     ctgα=cosαsinα Կարևոր է հիշել տանգենսի և կոտանգենսի հետևյալ արժեքները: 

tg0°=0            tg90°  գոյություն չունիtg180°=0      tg270° գոյություն չունիtg360°=0

ctg0° գոյություն չունիctg90°=0   ctg180° գոյություն չունիctg270°=0   ctg360° գոյություն չունի

       Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետևյալ արժեքները պետք է անգիր իմանալ:  

	30°	45°	60°
sinα	12	2−−√2	3−−√2
cosα	3−−√2	2−−√2	12
tgα	3−−√3	1	3−−√
ctgα	3−−√	1	3−−√3

                 Ցանկացած α անկյան համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝tg(−α)=−tgα,ctg(−α)=−ctgα:

Երրորդ ուսումնական շրջանը ամբողջությամբ նվիրել էինք ֆունկցիաներ թեմային: Ծանոթացել ենք դրանց հետ, կիրառման և մի շարք հատկությունների հետ: Ուս. շրջանում բացի ֆունկցիաներն ուսումնասիրելուց կատարել ենք առաջադրանքներ, ֆլեշմոբեր, անհատական նախագծեր, որոնց մանրամասն կարող եք ծանոթանալ այստեղ՝

Առաջադրանքներ

Անհատական աշխատանքներ-«Պի» թիվ, Ֆունկցիաներ

Ֆլեշմոբեր-փետրվար, մարտ

Հանրահաշիվ բաժնի հղում

Ընդհանուր նկարագիր

Ֆունկցիան մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից է, որը ցույց է տալիս մի փոփոխականի կախումը մյուսից։ Այն նշանակում են ՝f(x)=y

Այն դեպքում , երբ X բազմության յուրաքանչյուր տարրի համապատասխանում է միայն մեկ տարր Y բազմությունից, անվանում են ֆունկցիա. Ֆունկցիան կարող է ներկայացվել մի քանի ձևով, օրինակ՝ աղյուսակով, բանաձևով կամ գրաֆիկով։Ֆունկցիաները ամենուր տարածված են մաթեմատիկայի մեջ և կարևոր են գիտության մեջ ֆիզիկական հարաբերություններ ձևավորելու համար: Ֆունկցիայի ժամանակակից սահմանումը առաջին անգամ տրվել է 1837 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտեր Դիրիխլեի կողմից. Սկզբում ֆունկցիա հասկացությունը չէր տարբերվում վերլուծական ներկայացման հասկացությունից։ 19-րդ դարի վերջում ֆունկցիա հասկացությունը գերազանցել էր թվային համակարգերի շրջանակը։ Սկզբում ֆունկցիա հասկացությունը տարածվեց վեկտորային ֆունկցիաների վրա, շուտով ներկայացվեց տրամաբանական ֆունկցիաները , իսկ բազմությունների տեսության հայտնվելուց հետո Դեդեկինդը և Պեանոն  ձևակերպեցին ժամանակակից ունիվերսալ սահմանումը։

Ֆունկցիան անվանում են թվային եթե X և Y բազմությունների տարրերը թվեր են:

Ընդհանուր գործառույթներ

Շատ լայնորեն օգտագործվող մաթեմատիկական բանաձևեր հայտնի ֆունկցիաների արտահայտություններ են: Օրինակ՝ շրջանագծի մակերեսի բանաձեւը՝ A = πr2, տալիս է A կախյալ փոփոխականը որպես անկախ r փոփոխականի (շառավիղ) ֆունկցիա։ Երկուսից ավելի փոփոխականներ պարունակող ֆունկցիաները նույնպես տարածված են մաթեմատիկայում: Ֆիզիկական սահմանափակումները ստիպում են անկախ փոփոխականներին լինել դրական թվեր: Երբ անկախ փոփոխականներին նույնպես թույլատրվում է ընդունել բացասական արժեքներ, այսինքն՝ ցանկացած իրական թիվ, ֆունկցիաները հայտնի են որպես իրական արժեք ունեցող ֆունկցիաներ:

Բազմանդամ ֆունկցիաներին կարելի է երկրաչափական պատկեր տալ անալիտիկ երկրաչափության միջոցով: x անկախ փոփոխականը գծագրվում է x առանցքի երկայնքով (հորիզոնական գիծ), իսկ կախյալ y փոփոխականը՝ y առանցքի երկայնքով (ուղղահայաց գիծ): Երբ x-ի և y-ի միջև հարաբերության գրաֆիկը գծվում է x-y հարթությունում, հարաբերությունը ֆունկցիա է, եթե ուղղահայաց գիծը միշտ անցնում է գրաֆիկական կորի միայն մեկ կետով. այսինքն՝ յուրաքանչյուր x-ին կհամապատասխանի միայն մեկ f(x) կետ, որը ֆունկցիայի սահմանումն է։ Այնուհետև ֆունկցիայի գրաֆիկը բաղկացած է կոորդինատներով կետերից (x, y), որտեղ y = f(x): Օրինակ՝ f(x) = x3 − 3x + 2 խորանարդ հավասարման գրաֆիկը ներկայացված է նկարում։

Քառակուսային ֆունկցիա

y=ax2+bx+c, որտեղ a,b,c∈R և a≠0  ֆունկցիան կոչվում է քառակուսային ֆունկցիա:

y=ax2+bx+c ֆունկցիայի որոշման տիրույթը բոլոր իրական թվերի R բազմությունն է:  Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է: y=x2 ֆունկցիան քառակուսային ֆունկցիայի մասնավոր դեպք է՝  a=1, b=0, c=0: 

Գրաֆիկը կառուցում ենք արժեքների աղյուսակի միջոցով: x−3−2−10123y9410149 Պարաբոլի գագաթը (0;0) կետն է:

Գծային ֆունկցիա

y=kx+b տեսքի ֆունկցիան, որտեղ k-ն և b-ն տրված թվեր են, անվանում են գծային ֆունկցիա: y=kx+b գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, որը զուգահեռ է y=kx ֆունկցիայի գրաֆիկին և ստացվում է դրանից զուգահեռ տեղափոխությամբ b միավորով:

Նույն կերպ՝ զուգահեռ տեղափոխելով y=4x ֆունկցիայի գրաֆիկը դեպի ներքև 2 միավորով՝ ստանում ենք y=4x−2 ֆունկցիայի գրաֆիկը (տես ներքևի նկարը): 

 Նկարի երեք ուղիղները իրար զուգահեռ են և ունեն նույն k=4 գործակիցը: Այդ պատճառով՝y=kx+b գծային ֆունկցիայի k թիվը անվանում են անկյունային գործակից: Այսպիսով՝ նույն անկյունային գործակցով ուղիղները զուգահեռ են: Եթե k>0, ապա y=kx+b ուղիղը x-երի առանցքի դրական ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն, եթե k<0, ապա այդ անկյունը բութ է: Եթե y=kx+b բանաձևում տեղադրենք x=0, ապա կստանանք՝ y=b: Այսպիսով՝ (0;b) կետը միշտ պատկանում է y=kx+b գծային ֆունկցիայի գրաֆիկին, իսկ b թիվը ցույց է տալիս, թե որ կետում է ուղիղը հատում y-ների առանցքը:

Մարդկությանը հայտնի ամենաառեղծվածային թվերից մեկը Պին է: Պի թիվը մաթեմատիկական հաստատուն է, որը ցույց է տալիս շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։ Նշանակվում է հունական այբուբենի π (պի) տառով։ Պի թիվը տասնորդական տեսքով ներկայացնելիս կհասկանաք, որ այն երբեք չի վերջանում: Այն օգտագործում են եղանակի կանխագուշակման, տարբեր վիճակագրություններ կատարելու համար: Ի դեպ, Քեոփսի հայտնի բուրգը «նման» է պի թվին, քանի որ դրա բարձրության հարաբերությունը հիմքի պարագծին կրկին պի է ստացվում: Պի թվի՝ ստորակետից հետո գրվող առաջին 100 թվանշանները հետևյալն են.

π-3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679

Մաթեմատիկայի զարգացման դասական ժամանակաշրջանը նշանավորվեց այն փաստով, որ Պիի համարը ճշգրիտ սահմանելու համար գիտնականները սկսեցին օգտագործել մաթեմատիկական վերլուծության մեթոդները: 1400-ական թվականներին հնդիկ մաթեմատիկոս Մադհավան օգտագործեց շարքի տեսությունը ՝ տասնորդական կետից հետո համարը և 11 թվանշանների համարը հաշվելու և որոշելու համար: Առաջին եվրոպացի, այն բանից հետո, երբ Արքիմեդեսը, որը հետաքնեց P թիվը և նշանակալի ներդրում ունեցավ դրա հիմնավորման մեջ, հոլանդացի Լյուդոլֆ վան Զեյլենն էր, որը տասնորդական կետից հետո արդեն ճանաչել էր 15 թվանշան, իսկ կտակում գրել է շատ հետաքրքիր բառեր. Այս գիտնականի պատվին էր, որ P թիվը ստացել է պատմության մեջ իր առաջին և միակ անձնական անունը:

Ինչպես կարծում են մասնագետները, այդ թիվը բացահայտվել է բաբելոնյան մոգերի կողմից և կիրառվել է Բաբելոնյան հայտնի աշտարակի կառուցման ժամանակ: Մինչդեռ «Պի»-ի ոչ բավարար ճշգրտությունը հանգեցրել է ամբողջ նախագծի փլուզմանը: Հնարավոր է, որ այս մաթեմատիկական հաստատունն է ընկած եղել լեգենդար Սողոմոն արքայի Տաճարի կառուցման հիմքում:

Ի դեպ, «Պի» թվի տոնը համընկնում է ամենահայտնի և ազդեցիկ ֆիզիկոս Ալբերտ Էյնշթեյնի ծննդյան օրվա հետ: 

Մարտի 17-ին նշվում է ՊԻ թվի տոնը: հիմնականում նշում են 12 ժամանոց համակարգով ցերեկվա 1:59:26-ին, կամ 24 ժամյա համակարգում` ժամը 13:59-ին: Նշելու համար թխում են թխվածքներ, որոնց վրա գրվում է π նշանը, կարդացվում են π թվին նվիրված գովասանական խոսքեր, խոսվում է մարդկության համար նրա դերի մասին և թե ինչ կլիներ աշխարհը առանց π-ի:

92-99

https://docs.google.com/document/d/1VC0y8fDw-_7QpHfskgsfgPRj4AEKTglETzHVNUrIUhk/edit?usp=sharing2

82-90

https://docs.google.com/document/d/1RRNBdEeR517XTRyvVnV8xP5bVovG7uZ78EJTdDupv7I/edit?usp=sharing

https://docs.google.com/document/d/1emIgMo1gWrZBbpCHZ9lYnWJyFY9hQpvp8QdO7zA0TIg/edit?usp=sharing